Projecao Estereografica da Espiral

Problema

Considere a esfera unitária
\[
S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:
x^2+y^2+z^2=1\}.
\] Como representar sobre \(S^2\) a imagem de uma espiral logarítmica
definida no plano \(z=-1\)?

Justificativa

Considere o polo norte
\[
N=(0,0,1)
\] e o plano
\[
\Pi_{-1}
=
\{(x,y,-1)\in\mathbb{R}^3\}.
\]

Para um ponto
\[
Q=(x,y,-1)\in\Pi_{-1},
\] a reta que passa por \(N\) e \(Q\) intersecta novamente a esfera
unitária em um ponto \(S\).

A projeção estereográfica inversa pode ser escrita como

\[
\sigma^{-1}(x,y)
=
\left(
\frac{4x}{x^2+y^2+4},
\frac{4y}{x^2+y^2+4},
1-\frac{8}{x^2+y^2+4}
\right).
\]

Dessa forma, cada ponto da curva plana determina um ponto
correspondente sobre a esfera.

Procedimento

Considere um ponto
\[
P=(X_c,Y_c)
\] no plano e os parâmetros reais \(a\) e \(b\).
Uma parametrização da espiral logarítmica utilizada na construção é

\[
\gamma(t)
=
\left(
X_c+e^{at}\cos(bt),
Y_c+e^{at}\sin(bt),
-1
\right),
\qquad
0\leq t\leq s.
\]

Para cada valor do parâmetro \(t\), escrevemos

\[
x(t)=X_c+e^{at}\cos(bt),
\qquad
y(t)=Y_c+e^{at}\sin(bt).
\]

Aplicando a projeção estereográfica inversa, obtemos a curva
sobre a esfera:

\[
\Gamma(t)
=
\left(
\frac{4x(t)}{x(t)^2+y(t)^2+4},
\frac{4y(t)}{x(t)^2+y(t)^2+4},
1-\frac{8}{x(t)^2+y(t)^2+4}
\right).
\]

No ambiente interativo, os parâmetros podem ser modificados para
observar simultaneamente as alterações da espiral no plano e de sua
imagem sobre a esfera.

Explore a construção

Utilize os controles do GeoGebra para modificar os parâmetros
\(a\), \(b\), \(X_c\), \(Y_c\) e \(s\), observando como cada alteração
da curva no plano modifica sua imagem sobre a esfera.

Referência da construção

Uma animação relacionada à projeção estereográfica inversa de uma
espiral logarítmica, desenvolvida por Erik Mahieu em Mathematica,
serviu como referência para esta exploração.

Inverse Stereographic Projection of the Logarithmic Spiral