Uma estrutura tridimensional de inspiração fractal

Problema

Considere uma figura geométrica tridimensional inicial, que denotaremos por \(M_0\).

Como construir, a partir de \(M_0\), uma sequência

\[
M_0,\qquad M_1,\qquad M_2,\qquad \ldots
\]

na qual cada nível seja formado por quatro cópias reduzidas e reposicionadas do nível anterior?

Para responder a essa pergunta, precisamos identificar primeiro qual transformação matemática descreve exatamente as duas operações presentes na construção: reduzir uma figura e deslocá-la para uma nova posição. Depois poderemos compreender o que acontece quando essa mesma regra é repetida.

Da construção geométrica à transformação afim

Queremos transformar uma figura em uma cópia reduzida e, em seguida, colocá-la em outra posição do espaço. Essas duas operações podem ser descritas simultaneamente por uma transformação afim.

Uma transformação afim do espaço pode ser escrita na forma

\[
F(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b},
\]

em que \(A\mathbf{x}\) representa a parte linear da transformação e o vetor \(\mathbf{b}\) representa uma translação.

A expressão anterior fornece, portanto, uma linguagem matemática adequada ao problema: a matriz \(A\) poderá descrever a redução da figura, enquanto o vetor \(\mathbf{b}\) permitirá determinar sua nova posição.

Como reduzir a figura?

Na construção considerada, as coordenadas horizontais \(x\) e \(y\) são reduzidas por um fator \(\frac13\), enquanto a coordenada vertical \(z\) é reduzida por um fator \(\frac12\).

Assim, um ponto

\[
(x,y,z)
\]

é transformado inicialmente em

\[
\left(
\frac{x}{3},
\frac{y}{3},
\frac{z}{2}
\right).
\]

Essa operação pode ser representada pela matriz

\[
A=
\begin{pmatrix}
\dfrac13 & 0 & 0\\
0 & \dfrac13 & 0\\
0 & 0 & \dfrac12
\end{pmatrix}.
\]

De fato,

\[
A
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x/3\\
y/3\\
z/2
\end{pmatrix}.
\]

Como posicionar as quatro cópias?

A matriz \(A\) resolve apenas a primeira parte do problema, pois reduz a figura, mas não determina onde cada cópia deverá ser colocada. Para obter as quatro posições utilizadas na construção, introduzimos vetores de translação.

Consideramos

\[
\mathbf{b}_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}
=
\begin{pmatrix}
\varepsilon_1\\
\varepsilon_2\\
0
\end{pmatrix},
\qquad
\varepsilon_1,\varepsilon_2\in\{-1,1\}.
\]

Como cada um dos dois sinais pode assumir os valores \(-1\) ou \(1\), existem quatro possibilidades:

\[
(-1,-1),\qquad
(-1,1),\qquad
(1,-1),\qquad
(1,1).
\]

Essas quatro escolhas determinam as quatro posições das cópias no plano horizontal.

Podemos então reunir as duas operações — reduzir e reposicionar — em uma única transformação:

\[
F_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\mathbf{x})
=
A\mathbf{x}
+
\mathbf{b}_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}.
\]

Em coordenadas,

\[
F_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(x,y,z)
=
\left(
\varepsilon_1+\frac{x}{3},
\varepsilon_2+\frac{y}{3},
\frac{z}{2}
\right).
\]

Como construir o nível seguinte?

Já sabemos como produzir cada uma das quatro cópias. Podemos agora usar a mesma regra para passar de um nível da construção para o seguinte.

Se \(M_k\) representa a estrutura obtida no nível \(k\), aplicamos as quatro transformações a \(M_k\) e reunimos as quatro imagens obtidas. Assim,

\[
M_{k+1}
=
\bigcup_{\varepsilon_1,\varepsilon_2\in\{-1,1\}}
F_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(M_k).
\]

Quantas cópias aparecem em cada nível?

A regra utilizada para construir os níveis também permite prever quantas cópias da figura inicial existirão em cada etapa, sem precisar realizar toda a construção.

No nível inicial temos uma única figura. No nível seguinte aparecem quatro cópias. Como cada uma delas volta a gerar quatro novas cópias, obtemos a sequência

\[
1,\qquad
4,\qquad
16,\qquad
64,\qquad
256,\ldots
\]

correspondente aos níveis

\[
0,\qquad
1,\qquad
2,\qquad
3,\qquad
4,\ldots
\]

Portanto, o número de cópias da figura inicial presentes no nível \(k\) é

\[
\boxed{N_k=4^k}.
\]

Essa é uma primeira consequência da formulação matemática: a mesma regra que gera geometricamente a construção permite prever quantitativamente sua estrutura.

É possível chegar diretamente a uma cópia do nível \(k\)?

A relação anterior permite construir a sequência nível por nível. A formulação algébrica, entretanto, permite fazer uma pergunta mais forte: é possível determinar diretamente uma determinada cópia do nível \(k\), sem reconstruir todos os níveis anteriores?

Para responder, precisamos compreender o que acontece quando fazemos sucessivamente diferentes escolhas entre as quatro transformações disponíveis.

Denotemos por

\[
\Omega=\{-1,1\}\times\{-1,1\}
\]

o conjunto das quatro escolhas possíveis. Cada elemento

\[
\omega=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)\in\Omega
\]

determina uma das quatro posições possíveis para uma nova cópia.

Para simplificar a notação, se \(\omega=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)\), escreveremos

\[
\mathbf{b}_{\omega}
=
\mathbf{b}_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}
\]

e

\[
F_{\omega}
=
F_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}.
\]

Para uma primeira escolha \(\omega_1\in\Omega\), temos

\[
F_{\omega_1}(\mathbf{x})
=
A\mathbf{x}
+
\mathbf{b}_{\omega_1}.
\]

Escolhendo em seguida \(\omega_2\in\Omega\), obtemos

\[
F_{\omega_2}
\left(
F_{\omega_1}(\mathbf{x})
\right)
=
A
\left(
A\mathbf{x}
+
\mathbf{b}_{\omega_1}
\right)
+
\mathbf{b}_{\omega_2}.
\]

Distribuindo \(A\), resulta

\[
F_{\omega_2}\circ F_{\omega_1}(\mathbf{x})
=
A^2\mathbf{x}
+
A\mathbf{b}_{\omega_1}
+
\mathbf{b}_{\omega_2}.
\]

Com uma terceira escolha \(\omega_3\in\Omega\), obtemos

\[
F_{\omega_3}
\circ
F_{\omega_2}
\circ
F_{\omega_1}(\mathbf{x})
=
A^3\mathbf{x}
+
A^2\mathbf{b}_{\omega_1}
+
A\mathbf{b}_{\omega_2}
+
\mathbf{b}_{\omega_3}.
\]

Os primeiros casos permitem reconhecer um padrão:

\[
\begin{aligned}
k=1:\qquad
&
A\mathbf{x}
+
\mathbf{b}_{\omega_1},
\\[4pt] k=2:\qquad
&
A^2\mathbf{x}
+
A\mathbf{b}_{\omega_1}
+
\mathbf{b}_{\omega_2},
\\[4pt] k=3:\qquad
&
A^3\mathbf{x}
+
A^2\mathbf{b}_{\omega_1}
+
A\mathbf{b}_{\omega_2}
+
\mathbf{b}_{\omega_3}.
\end{aligned}
\]

Uma sequência de \(k\) escolhas pode ser representada por

\[
\boldsymbol{\omega}
=
(\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_k)
\in\Omega^k.
\]

Nessa notação, cada \(\omega_j\) registra a escolha realizada na etapa \(j\), enquanto \(\boldsymbol{\omega}\) registra todo o percurso de escolhas até o nível \(k\).

A essa sequência associamos a transformação composta

\[
F_{\boldsymbol{\omega}}
=
F_{\omega_k}
\circ
F_{\omega_{k-1}}
\circ
\cdots
\circ
F_{\omega_1}.
\]

O padrão observado nos primeiros casos conduz à expressão geral

\[
\boxed{
F_{\boldsymbol{\omega}}(\mathbf{x})
=
A^k\mathbf{x}
+
\sum_{j=1}^{k}
A^{\,k-j}\mathbf{b}_{\omega_j}
}.
\]

O que a fórmula geral nos permite compreender?

A expressão geral contém, em uma única fórmula, as duas informações necessárias para determinar uma cópia no nível \(k\): sua escala e sua posição.

O termo

\[
A^k\mathbf{x}
\]

descreve a redução acumulada da figura após \(k\) aplicações da transformação.

Já a soma

\[
\sum_{j=1}^{k}
A^{\,k-j}\mathbf{b}_{\omega_j}
\]

registra os deslocamentos sucessivos que determinam a posição final da cópia.

Um deslocamento realizado nas primeiras etapas ainda é afetado pelas contrações posteriores. Por isso, \(\mathbf{b}_{\omega_1}\) aparece multiplicado por \(A^{k-1}\). O último deslocamento, \(\mathbf{b}_{\omega_k}\), não sofre nenhuma contração posterior e aparece sem nenhuma potência de \(A\).

Uma sequência de escolhas como endereço

A sequência \(\boldsymbol{\omega}=(\omega_1,\ldots,\omega_k)\) pode ser interpretada como um endereço de uma cópia no nível \(k\). A primeira escolha \(\omega_1\) indica qual das quatro transformações foi utilizada na primeira etapa, \(\omega_2\) registra a escolha realizada na segunda etapa e assim sucessivamente.

Como existem quatro possibilidades em cada uma das \(k\) etapas, existem

\[
|\Omega^k|=4^k
\]

sequências possíveis de comprimento \(k\). Esse resultado coincide exatamente com a contagem

\[
N_k=4^k.
\]

Assim, a mesma quantidade aparece de duas maneiras: geometricamente, como o número de cópias no nível \(k\), e algebricamente, como o número de sequências possíveis de \(k\) escolhas.

Como a escala se modifica ao longo dos níveis?

A fórmula geral contém a potência \(A^k\). Para compreender geometricamente esse termo, precisamos observar o que acontece quando a mesma matriz de redução é aplicada repetidamente.

Como \(A\) é diagonal, temos

\[
A^k=
\begin{pmatrix}
3^{-k} & 0 & 0\\
0 & 3^{-k} & 0\\
0 & 0 & 2^{-k}
\end{pmatrix}.
\]

Isso significa que, depois de \(k\) aplicações, a escala nas direções \(x\) e \(y\) é \(3^{-k}\), enquanto a escala na direção \(z\) é \(2^{-k}\).

Assim, \(A^k\) permite determinar diretamente quanto uma cópia foi reduzida depois de \(k\) etapas, sem precisar acompanhar visualmente todas as transformações anteriores.

O que permanece e o que se modifica?

Já sabemos como as cópias são construídas, posicionadas e reduzidas. Podemos agora investigar quais propriedades geométricas permanecem inalteradas durante esse processo e quais são modificadas.

As transformações utilizadas são afins. Por isso, preservam propriedades como colinearidade, paralelismo e razões entre segmentos pertencentes a uma mesma reta.

Comprimentos e ângulos, entretanto, não são preservados em geral.

Essa distinção ajuda a compreender a natureza da transformação: algumas relações geométricas permanecem invariantes, enquanto propriedades métricas da figura podem ser modificadas.

O que os autovalores explicam?

A matriz \(A\) contém também informações sobre as direções nas quais a figura é contraída. Os autovalores permitem expressar essa informação na linguagem da Álgebra Linear.

Como

\[
A=
\begin{pmatrix}
\dfrac13 & 0 & 0\\
0 & \dfrac13 & 0\\
0 & 0 & \dfrac12
\end{pmatrix},
\]

seus autovalores são

\[
\lambda_1=\frac13,
\qquad
\lambda_2=\frac13,
\qquad
\lambda_3=\frac12.
\]

Como os vetores das direções coordenadas são autovetores de \(A\), esses autovalores correspondem diretamente aos fatores de contração nas respectivas direções:

\[
x:\frac13,
\qquad
y:\frac13,
\qquad
z:\frac12.
\]

Os autovalores tornam explícita, portanto, uma característica que já podia ser observada geometricamente: a transformação não contrai o espaço da mesma maneira em todas as direções.

O que acontece com o volume?

A matriz também permite responder a outra pergunta geométrica: quanto o volume é alterado por cada aplicação da transformação?

Uma dimensão é multiplicada por \(\frac13\), outra por \(\frac13\) e a terceira por \(\frac12\). Portanto, uma região de volume \(V\) passa a ter volume

\[
\frac13
\cdot
\frac13
\cdot
\frac12
\,V
=
\frac1{18}V.
\]

Esse fator é exatamente o determinante da matriz \(A\):

\[
\det(A)
=
\frac13
\cdot
\frac13
\cdot
\frac12
=
\frac1{18}.
\]

Assim,

\[
\boxed{
V_{\text{novo}}
=
\frac1{18}V
}.
\]

Neste contexto, o determinante não aparece apenas como um cálculo matricial: ele fornece diretamente o fator pelo qual o volume é alterado pela transformação.

Onde aparece a inspiração fractal?

A inspiração fractal da construção está na repetição de uma mesma regra geométrica em níveis sucessivos e em escalas cada vez menores. Cada estrutura \(M_{k+1}\) é obtida aplicando a \(M_k\) o mesmo conjunto de quatro transformações utilizado nas etapas anteriores.

Os níveis

\[
M_0,\qquad M_1,\qquad M_2,\qquad \ldots
\]

são etapas finitas desse processo iterativo. Assim, a relação com a geometria fractal não depende de chamar cada nível isoladamente de fractal, mas da presença de uma regra de construção repetitiva baseada em cópias reduzidas e reposicionadas.

Além disso, as reduções não são iguais em todas as direções:

\[
\frac13\neq\frac12.
\]

Por isso, as transformações utilizadas não são, em geral, semelhanças euclidianas. Elas são transformações afins com diferentes fatores de escala em diferentes direções, característica associada a construções de natureza autoafim.

Explore a construção

As expressões anteriores descrevem matematicamente o processo. O applet permite observar geometricamente aquilo que cada uma delas representa.

Utilize o controle deslizante do GeoGebra para percorrer os diferentes níveis e gire a visualização tridimensional para acompanhar a construção no espaço.

Ao explorar o applet, procure relacionar a visualização com a matemática desenvolvida anteriormente:

• observe por que surgem quatro novas cópias a cada etapa;
• identifique geometricamente os fatores \(\frac13,\frac13,\frac12\);
• observe como \((\varepsilon_1,\varepsilon_2)\) determina a posição das cópias;
• compare o número de cópias observado com a expressão \(N_k=4^k\);
• interprete cada sequência \(\boldsymbol{\omega}\in\Omega^k\) como um possível caminho até uma cópia do nível \(k\);
• procure identificar geometricamente o significado de \(A^k\);
• observe como diferentes direções apresentam diferentes fatores de escala.

Para investigar

As questões abaixo retomam as principais relações entre a construção geométrica e sua descrição algébrica e permitem explorar o que as fórmulas obtidas explicam sobre o processo.

1. Por que o número de cópias da figura inicial no nível \(k\) é \(N_k=4^k\)?
2. Como a matriz \(A\) representa as reduções observadas geometricamente?
3. Qual é o significado geométrico dos vetores \(\mathbf b_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\)?
4. O que representa o conjunto \(\Omega=\{-1,1\}\times\{-1,1\}\)?
5. Qual é a diferença entre uma escolha \(\omega_j\in\Omega\) e uma sequência \(\boldsymbol{\omega}\in\Omega^k\)?
6. Por que, ao compor duas transformações, o primeiro vetor de translação aparece multiplicado por \(A\)?
7. Como os casos \(k=1\), \(k=2\) e \(k=3\) permitem reconhecer o padrão geral?

\[
F_{\boldsymbol{\omega}}(\mathbf{x})
=
A^k\mathbf{x}
+
\sum_{j=1}^{k}
A^{\,k-j}\mathbf{b}_{\omega_j}.
\]

8. Por que existem exatamente \(4^k\) sequências em \(\Omega^k\) e como isso se relaciona com o número de cópias do nível \(k\)?
9. O que a potência \(A^k\) permite prever sobre uma cópia do nível \(k\)?
10. O que os autovalores de \(A\) representam geometricamente?
11. Qual é a interpretação geométrica de \(\det(A)=\frac1{18}\)?
12. O que aconteceria se as três direções fossem reduzidas pelo mesmo fator?
13. O que mudaria se os fatores de contração fossem substituídos por outros valores?
14. É possível determinar diretamente a posição e a escala de uma cópia do nível \(k\) sem construir todos os níveis anteriores?

Referência da construção

A exploração parte de uma inspiração geométrica proveniente da arquitetura. A referência abaixo apresenta estruturas arquitetônicas de inspiração fractal que motivaram a construção. A formulação por transformações afins permite estudar matematicamente esse processo e implementá-lo de forma dinâmica no GeoGebra 3D.

HARRIS, James. Fractal Architecture: Organic Design Philosophy in Theory and Practice. Albuquerque: University of New Mexico Press, 2012.