Mandala Matemática
Mandala matemática
Simetria, vetores normais e reconstrução de uma curva a partir de uma única porção.
A mandala completa é reconstruída por simetrias a partir de uma única porção da curva \(\eta(t)=i\gamma'(t)\).
A matemática por trás da imagem
A construção parte de uma curva parametrizada no plano complexo, representada por
\[
\gamma(t)=\sum_{j=1}^{M} r_j e^{\,i\omega_j t}.
\]
Cada termo pode ser imaginado como um movimento circular com raio \(r_j\) e velocidade angular \(\omega_j\). A curva \(\gamma\) resulta da superposição desses movimentos.
Para produzir simetria rotacional, escolhemos as frequências de modo que todas pertençam à mesma classe módulo \(m\):
\[
\omega_j\equiv k\pmod m.
\]
Essa condição faz com que um avanço de \(2\pi/m\) no parâmetro corresponda a uma rotação da própria curva:
\[
\gamma\left(t+\frac{2\pi}{m}\right)
=
e^{\,i2\pi k/m}\gamma(t).
\]
Na obra apresentada nesta galeria são utilizados
\[
M=6,
\qquad
m=24,
\qquad
k=23.
\]
Como \(\gcd(24,23)=1\), as rotações percorrem todas as posições da simetria de ordem \(24\).
O que é a curva \(\eta\)?
A mandala não é construída diretamente com a curva original \(\gamma\). Primeiro consideramos sua derivada,
\[
\gamma'(t),
\]
que fornece a direção tangente ao movimento da curva em cada instante.
Em seguida, essa derivada é rotacionada em \(90^\circ\). Denotando por \(\Delta_{\pi/2}\) a rotação anti-horária de ângulo \(\pi/2\), definimos
\[
\boxed{
\eta(t)=\Delta_{\pi/2}\gamma'(t)=i\,\gamma'(t)
}
\]
Para entender geometricamente essa igualdade, escrevemos
\[
\gamma(t)=x(t)+iy(t).
\]
Então
\[
\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t),
\]
e, multiplicando por \(i\), obtemos
\[
\eta(t)=i\gamma'(t)
=
-y'(t)+ix'(t).
\]
No plano real, isso corresponde ao vetor
\[
\eta(t)=\bigl(-y'(t),\,x'(t)\bigr).
\]
Esse vetor é perpendicular ao vetor tangente \((x'(t),y'(t))\), pois
\[
(x’,y’)\cdot(-y’,x’)
=
-x’y’+y’x’
=
0.
\]
Portanto, \(\eta(t)\) aponta na direção normal à curva.
\(\eta\) é o vetor normal unitário?
Não necessariamente. O vetor normal unitário é
\[
N(t)
=
\frac{\eta(t)}{\|\gamma'(t)\|}
=
\frac{i\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}.
\]
Assim, \(N(t)\) possui comprimento \(1\), enquanto \(\eta(t)\) possui comprimento
\[
\|\eta(t)\|
=
\|\gamma'(t)\|.
\]
Em outras palavras, \(\eta\) conserva a direção normal, mas também conserva a informação sobre a velocidade com que \(\gamma\) está sendo percorrida.
Por que a simetria aparece também em \(\eta\)?
A simetria da curva original não desaparece quando derivamos. Para as curvas consideradas, a derivada satisfaz a mesma relação rotacional:
\[
\gamma’\left(t+\frac{2\pi}{m}\right)
=
e^{\,i2\pi k/m}\gamma'(t).
\]
Como \(\eta(t)=i\gamma'(t)\), segue que
\[
\eta\left(t+\frac{2\pi}{m}\right)
=
e^{\,i2\pi k/m}\eta(t).
\]
Assim, a curva derivada na direção normal preserva a estrutura de simetria rotacional da curva original. A mandala surge, portanto, de uma propriedade matemática da curva e não de uma repetição gráfica feita apenas por motivos estéticos.
Como uma pequena porção gera toda a mandala?
Além da simetria rotacional, essas curvas apresentam simetrias por reflexão. Para \(m=24\), basta considerar a restrição
\[
\eta_1
=
\eta\big|_{[0,\pi/24]}.
\]
Esse intervalo corresponde a apenas uma pequena porção da parametrização completa. A partir dela, as demais partes são obtidas por reflexões sucessivas.
Em notação complexa, a reflexão em uma reta que forma ângulo \(\theta\) com o eixo real pode ser escrita como
\[
R_\theta(z)
=
e^{2i\theta}\,\overline{z}.
\]
Nesta construção, as retas de reflexão são determinadas pelos ângulos
\[
\theta_j
=
\frac{jk\pi}{m}.
\]
Como \(m=24\), a mandala completa possui
\[
2m=48
\]
porções relacionadas por simetria. Conhecendo apenas \(\eta_1\), as outras 47 porções podem ser reconstruídas pelas reflexões sucessivas.
O que representam as cores?
A porção geradora \(\eta_1\) é dividida em sete trechos, representados por uma paleta de cores quentes. Quando cada trecho é refletido, sua cor acompanha a transformação, permitindo reconhecer visualmente como uma mesma parte se reproduz ao longo da mandala.
As posições em que ocorre a mudança de cor podem ser ajustadas na construção computacional. Portanto, a divisão cromática não representa uma nova propriedade intrínseca da curva: ela é uma escolha visual do LVM para tornar perceptível o processo de reconstrução.
A curva original \(\gamma\) aparece em vermelho e funciona como referência, enquanto a curva \(\eta\), construída a partir da direção normal, constitui a estrutura colorida principal da obra.
O que a imagem permite observar?
A mandala evidencia a passagem do local para o global: uma única porção de uma curva derivada contém informação suficiente para reconstruir toda a figura.
Ao mesmo tempo, a obra relaciona três ideias matemáticas:
\[
\text{derivada}
\quad\longrightarrow\quad
\text{direção normal}
\quad\longrightarrow\quad
\text{simetria}.
\]
O resultado visual é consequência da interação entre geometria diferencial, números complexos e simetrias rotacionais e reflexivas.
Base matemática
Esta construção utiliza resultados desenvolvidos no estudo Explorando as simetrias rotacional e reflexiva em curvas usando congruência modular, no qual são investigadas curvas paramétricas, suas derivadas, vetores normais e os mecanismos de reconstrução por rotações e reflexões.
Quer explorar a construção?
A porção geradora, os cortes de cor e os elementos visuais da mandala podem ser modificados na construção computacional do LVM.