Bola Tetraédrica
Problema
Considere o plano
\[
\Pi=\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^3\}
\]
e um padrão fundamental \(\Omega\subset\Pi\).
Como reorganizar cópias de \(\Omega\) de modo a obter uma
planificação tetraédrica e, a partir dela, construir uma configuração
sobre uma superfície esférica?
Justificativa
A construção utiliza meias-voltas, isto é, rotações de \(180^\circ\).
Se \(M\in\Pi\) é o centro da rotação, a meia-volta é dada por
\[
R_M(X)=2M-X.
\]
Aplicando essas rotações ao padrão \(\Omega\), obtêm-se quatro cópias
que podem ser reorganizadas em uma região triangular \(T\subset\Pi\).
A região \(T\) admite uma decomposição
\[
T=T_1\cup T_2\cup T_3\cup T_4,
\]
onde \(T_1,T_2,T_3,T_4\) são quatro triângulos congruentes que
constituem uma planificação de um tetraedro.
As arestas comuns dos \(T_i\) determinam as linhas de dobragem.
As curvas que delimitam o padrão acompanham a transformação da
superfície e determinam as costuras curvilíneas da configuração final.
Procedimento
- Considerar um padrão fundamental \(\Omega\subset\Pi\).
- Construir três novas cópias de \(\Omega\) por meio de meias-voltas.
- Reorganizar as quatro cópias em uma região triangular
\(T\subset\Pi\). - Decompor \(T\) nos quatro triângulos congruentes
\(T_1,T_2,T_3,T_4\). - Interpretar essa decomposição como uma planificação de um tetraedro.
- Dobrar as faces \(T_i\) em torno de suas arestas comuns,
obtendo a superfície tetraédrica. - Deformar continuamente essa superfície até a esfera\[
S^2=\{X\in\mathbb{R}^3:\|X\|=1\},
\]acompanhando a transformação das curvas de corte.
Exploração e construção computacional
A construção pode ser explorada de forma interativa em 3D ou
acompanhada computacionalmente no Google Colab.
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