Dominio Colorido
Domínio colorido
Funções complexas transformadas em cor, curvas e padrões visuais.
Explore diferentes funções complexas nas leituras polar e cartesiana.
A matemática por trás das imagens
Uma função complexa \(f:D\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) associa a cada ponto \(z\) um novo número complexo \(f(z)\). O domínio colorido transforma informações desses valores em cores e curvas desenhadas diretamente sobre o plano.
Para \(f(z)\neq0\), podemos escrever
\[
f(z)=|f(z)|e^{\,i\arg f(z)}.
\]
O módulo \(|f(z)|\) mede a distância de \(f(z)\) à origem, enquanto o argumento \(\arg f(z)\) indica sua direção angular. Essas duas informações estão na base da leitura polar utilizada nesta galeria.
Domínio colorido
Uma forma de tornar visíveis propriedades de funções complexas.
O que é domínio colorido?
Uma função complexa
\[
f:D\subset\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}
\]
associa a cada ponto \(z\) do plano complexo um novo número complexo \(f(z)\). Como tanto \(z\) quanto \(f(z)\) possuem parte real e parte imaginária, sua representação gráfica não é tão imediata quanto a de uma função real.
O domínio colorido associa informações de \(f(z)\) a cores e curvas desenhadas diretamente sobre o plano do domínio. Para \(f(z)\neq0\), podemos escrever
\[
f(z)=|f(z)|e^{\,i\arg f(z)}.
\]
Nessa expressão, \(|f(z)|\) é o módulo, isto é, a distância de \(f(z)\) à origem do plano complexo, enquanto \(\arg f(z)\) é o argumento, que determina sua direção angular.
O que representam as cores?
Na leitura polar, associamos o argumento de \(f(z)\) a uma escala cíclica de cores do tipo HSV (Hue, Saturation, Value). O matiz pode ser representado por
\[
H(z)=\frac{\arg f(z)}{2\pi}\pmod 1.
\]
Quando o argumento completa uma volta de \(2\pi\), as cores também completam um ciclo e retornam à cor inicial. Nesta galeria adotamos o vermelho para a direção do semieixo real positivo; a partir dessa escolha, a orientação das demais cores fica determinada pelo ciclo HSV.
\[
\begin{array}{ccl}
\arg f(z)=0 &\longleftrightarrow& \text{vermelho},\\[4pt]
\arg f(z)=\frac{\pi}{2} &\longleftrightarrow& \text{verde-amarelado},\\[4pt]
\arg f(z)=\pi &\longleftrightarrow& \text{ciano},\\[4pt]
\arg f(z)=\frac{3\pi}{2} &\longleftrightarrow& \text{violeta}.
\end{array}
\]
Assim, valores de \(f(z)\) sobre o semieixo real positivo aparecem em vermelho; sobre o semieixo imaginário positivo, em tons verde-amarelados; sobre o semieixo real negativo, em ciano; e sobre o semieixo imaginário negativo, em tons violetas. Entre essas direções, as cores variam continuamente.
Como ler as imagens?
Além das cores, utilizamos curvas de nível para revelar a estrutura da função. Nesta galeria apresentamos duas leituras da mesma função: uma baseada em módulo e argumento e outra baseada nas partes real e imaginária.
Para mostrar o significado dessas duas grades utilizamos \(f(z)=z\) apenas como referência. Como a função identidade não deforma o plano, as estruturas aparecem em sua forma mais simples.
Leitura polar — módulo e argumento |
Leitura cartesiana — partes real e imaginária |
|
Na leitura polar são representadas duas famílias de curvas: \[ A primeira reúne pontos cujas imagens possuem o mesmo módulo; a segunda reúne pontos cujas imagens possuem o mesmo argumento. |
Na leitura cartesiana escrevemos \[ onde \(u(z)=\operatorname{Re}f(z)\) e \(v(z)=\operatorname{Im}f(z)\). Representamos então as curvas \(\operatorname{Re}f(z)=c_1\) e \(\operatorname{Im}f(z)=c_2\). |
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Para \(f(z)=z\), as curvas \(|z|=c\) são circunferências centradas na origem e as curvas \(\arg z=\theta\) são semirretas que partem da origem. Ao longo de cada semirreta a cor permanece constante, pois o argumento é o mesmo. |
Para \(f(z)=z=x+iy\), temos \(\operatorname{Re}f(z)=x\) e \(\operatorname{Im}f(z)=y\). Assim, essas duas famílias aparecem como retas verticais e horizontais. |
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Módulo e argumento constantes. |
Partes real e imaginária constantes. |
Por que as curvas se cruzam em ângulo reto?
Se \(f\) é holomorfa e \(f'(z)\neq0\), podemos escrever
\[
f(z)=u(x,y)+iv(x,y).
\]
As equações de Cauchy–Riemann estabelecem
\[
u_x=v_y,
\qquad
u_y=-v_x.
\]
Como consequência,
\[
\nabla u\cdot\nabla v=u_xv_x+u_yv_y=0.
\]
Os gradientes de \(u\) e \(v\) são, portanto, ortogonais. Assim, nos pontos regulares da função, as curvas \(\operatorname{Re}f(z)=\text{constante}\) e \(\operatorname{Im}f(z)=\text{constante}\) se cruzam em ângulo reto. A ortogonalidade observada nas imagens não é apenas um efeito gráfico: ela expressa uma propriedade das funções holomorfas.
Por que módulo e argumento também estão relacionados?
Em uma região onde \(f(z)\neq0\) e onde podemos escolher um ramo local do logaritmo complexo, temos
\[
\log f(z)=\log|f(z)|+i\,\arg f(z).
\]
Essa igualdade mostra que \(\log|f(z)|\) é a parte real de \(\log f(z)\), enquanto \(\arg f(z)\) é sua parte imaginária. Portanto, módulo e argumento não foram escolhidos apenas para construir uma representação visual: eles aparecem naturalmente ligados pela estrutura da análise complexa.
Como \(\log f(z)\) é localmente holomorfa nessas regiões, as famílias
\[
|f(z)|=\text{constante}
\qquad\text{e}\qquad
\arg f(z)=\text{constante}
\]
podem ser interpretadas como curvas de nível de suas partes real e imaginária. Nos pontos em que \(f'(z)\neq0\), essas duas famílias também se cruzam ortogonalmente.
O que isso significa geometricamente?
Nos pontos em que \(f\) é holomorfa e \(f'(z)\neq0\), a função é localmente conforme: ela preserva os ângulos entre curvas.
As grades mostradas nas imagens podem, portanto, se curvar, alongar e reorganizar, mas preservam localmente sua estrutura angular nos pontos regulares da função.
Zeros, polos, pontos críticos e outras singularidades modificam esse comportamento e produzem algumas das estruturas visuais observadas nas obras da coleção. A interpretação específica desses fenômenos será apresentada junto a cada função.
Visualizações
Nas imagens a seguir, diferentes funções transformam as grades apresentadas acima. Zeros, polos, periodicidade e simetrias tornam-se visíveis por meio das cores e das curvas de nível.