Ternas Pitagóricas
Ternas pitagóricas
Árvores, genealogias e padrões gerados a partir de soluções inteiras do Teorema de Pitágoras.
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Berggren |
Price |
Deriy |
Três genealogias de ternas pitagóricas primitivas construídas a partir da raiz comum \((3,4,5)\).
A matemática por trás das imagens
Uma terna pitagórica é formada por três números inteiros positivos \(a,b,c\) que satisfazem
\[
a^2+b^2=c^2.
\]
Geometricamente, esses números podem ser interpretados como os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo: \(a\) e \(b\) são os catetos e \(c\) é a hipotenusa. Quando os três números não possuem divisor comum maior que \(1\), a terna é chamada primitiva.
O exemplo mais conhecido é
\[
(3,4,5),
\qquad
3^2+4^2=5^2.
\]
Nesta coleção, a terna \((3,4,5)\) funciona também como a raiz comum das três árvores.
Como surgem novas ternas?
Uma forma clássica de produzir ternas pitagóricas utiliza dois números inteiros \(m>n>0\). A parametrização de Euclides é dada por
\[
a=m^2-n^2,
\qquad
b=2mn,
\qquad
c=m^2+n^2.
\]
Por exemplo, tomando \(m=2\) e \(n=1\), obtemos
\[
(2^2-1^2,\;2\cdot2\cdot1,\;2^2+1^2)
=
(3,4,5).
\]
Além de gerar ternas individualmente, podemos organizá-las em genealogias: a partir de uma terna, determinadas transformações produzem novas ternas, que por sua vez geram outras.
Genealogias pitagóricas
As três imagens comparam os métodos de Berggren, Price e Deriy. Todos partem da mesma raiz \((3,4,5)\), representada visualmente pelo tronco da árvore.
Cada segmento representa uma relação entre uma terna e uma de suas descendentes. A repetição das regras geradoras produz sucessivas gerações e transforma uma sequência algébrica de ternas em uma estrutura ramificada.
Genealogia de Berggren
No método de Berggren, uma terna \((a,b,c)\) gera três descendentes por meio das transformações \(F_1,F_2,F_3\):
\[
F_1(a,b,c)=
\bigl(
a-2b+2c,\;
2a-b+2c,\;
2a-2b+3c
\bigr),
\]
\[
F_2(a,b,c)=
\bigl(
a+2b+2c,\;
2a+b+2c,\;
2a+2b+3c
\bigr),
\]
\[
F_3(a,b,c)=
\bigl(
-a+2b+2c,\;
-2a+b+2c,\;
-2a+2b+3c
\bigr).
\]
Aplicando as três regras à raiz \((3,4,5)\), obtemos a primeira geração. As mesmas transformações são então aplicadas novamente a cada nova terna, produzindo os níveis seguintes da árvore.
Genealogia de Price
No método de Price, associamos à terna um par de parâmetros \((p,q)\). A partir desse par são produzidos três novos pares:
\[
F_1:(p,q)\longmapsto(2p,p+q),
\]
\[
F_2:(p,q)\longmapsto(p+q,2q),
\]
\[
F_3:(p,q)\longmapsto(2p,p-q).
\]
Cada novo par determina uma nova terna pitagórica por meio da parametrização
\[
(p^2-q^2,\;2pq,\;p^2+q^2).
\]
A regra algébrica é diferente da utilizada por Berggren, mas novamente aparece uma estrutura ramificada formada por gerações sucessivas.
Genealogia de Deriy
A terceira árvore utiliza uma construção baseada no método de Deriy. No modelo computacional do LVM podem ser consideradas variantes com duas ou três ramificações, permitindo comparar diferentes formas de gerar descendentes a partir da mesma raiz.
As três árvores mostram que regras geradoras distintas podem organizar o mesmo tipo de objeto matemático em genealogias visualmente diferentes.
Como ler as árvores?
O tronco conduz à terna raiz \((3,4,5)\). A partir dela começam as ramificações associadas às famílias \(F_1,F_2,F_3\). Cada nova bifurcação ou ramificação corresponde à aplicação das regras geradoras sobre as ternas do nível anterior.
\(F_1\)Vermelho. Identifica os ramos pertencentes à primeira família de transformação. |
\(F_2\)Verde. Identifica os ramos pertencentes à segunda família de transformação. |
\(F_3\)Marrom escuro. Identifica os ramos pertencentes à terceira família de transformação. |
O que representa o parâmetro \(t\)?
O parâmetro \(t\) não modifica as ternas nem suas relações de descendência. Ele controla somente a disposição angular dos ramos utilizada na representação visual.
\[
0\leq t\leq1.
\]
Quando \(t=0\), a orientação dos ramos é determinada pelos ângulos associados às próprias ternas. À medida que \(t\) aumenta, essa disposição é continuamente reorganizada até chegar, em \(t=1\), à ordem visual
\[
F_1\;|\;F_2\;|\;F_3.
\]
Assim, o mesmo objeto matemático pode ser observado em diferentes configurações geométricas sem alterar sua estrutura genealógica.
O que as imagens permitem observar?
A representação transforma relações algébricas em uma estrutura geométrica. Em vez de visualizar apenas uma lista de ternas, podemos acompanhar gerações, famílias e ramificações e comparar como diferentes métodos organizam o mesmo tipo de objeto matemático.
Uma equação aparentemente simples,
\[
a^2+b^2=c^2,
\]
dá origem, assim, a estruturas infinitas e altamente organizadas.
Quer explorar a construção?
A geração das árvores, as transformações utilizadas e a comparação entre as genealogias podem ser exploradas computacionalmente nos materiais do LVM.